Лабораторна робота № 5
Використання оператора циклу для розв’язання нелінійних скінчених (алгебричних чи трансцендентних) рівнянь методом Ньютона
1. Порядок виконання роботи
1.1. Скласти алгоритмічною мовою Фортран програму для розв’язання нелінійного рівняння методом Ньютона.
1.2. Відлагодити на комп’ютері складену програму.
1.3. Ввести числові дані та отримати результат.
1.4. Скласти звіт про роботу й захистити його.
2. Вказівки до виконання роботи
Суть методу Ньютона, відомого ще під назвою методу дотичної, полягає у тому, що задавшись нульовим наближенням EMBED Equation.DSMT4 кореня рівняння EMBED Equation.DSMT4 (за нульове наближення кореня можна прийняти довільне значення х з інтервалу його пошуку), шукаємо його перше наближення
EMBED Equation.DSMT4
де EMBED Equation.DSMT4 – поправка кореня на першій ітерації, яка обчислюється за формулою
EMBED Equation.DSMT4
Тут EMBED Equation.DSMT4 – значення лівої частини рівняння, обчислене за нульовим EMBED Equation.DSMT4 наближенням кореня, EMBED Equation.DSMT4 – значення похідної лівої частини рівняння, обчислене за цим же наближенням. Далі, за першим наближенням EMBED Equation.DSMT4 кореня на другій ітерації знаходимо його друге наближення і т.д. Ітераційний процес має вигляд
EMBED Equation.DSMT4
де
EMBED Equation.DSMT4
Ітераційний процес припиняють, коли задовольняється нерівність
EMBED Equation.DSMT4
де ε – задана похибка.
Метод Ньютона гарантує збіжність тільки за таких умов:
– на інтервалі пошуку кореня функція є монотонною, тобто перша похідна не змінює знаку
EMBED Equation.DSMT4
– на інтервалі пошуку кореня друга похідна не змінює знаку
EMBED Equation.DSMT4
– нульове EMBED Equation.DSMT4 наближення кореня вибране так, що
EMBED Equation.DSMT4
Схема алгоритму розв’язання нелінійного скінченого рівняння методом Ньютона зображена на рис. 13. Ця схема алгоритму містить лічильник кількості ітерацій, про який уже йшлося вище.
1
Початок
Кінець
10
так
ні
13
Кінець
ні
11
8
так
EMBED Equation.DSMT4
9
Повідомлення
EMBED Equation.DSMT4
5
EMBED Equation.DSMT4
4
3
2
Введення EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
6
EMBED Equation.DSMT4
7
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
12
Виведення x, j
Рис. 13. Схема алгоритму розв’язання нелінійного скінченого рівняння методом Ньютона
із використанням лічильника кількості ітерацій
Увага! Метод Ньютона, на відміну від обох попередніх, вимагає на кожній ітерації крім обчислення значення функції EMBED Equation.DSMT4 ще обчислення значення її похідної EMBED Equation.DSMT4 Вираз цієї похідної для функції, заданої аналітично, слід знайти самостійно.
Приклад. Необхідно скласти програму визначення методом Ньютона кореня рівняння
EMBED Equation.DSMT4
з точністю = 0,0001 на інтервалі від а=0 до b=1,5. (Тут рівняння таке ж, як і у лабораторних роботах №3 і №4.)
Похідна лівої частини рівняння має вигляд:
EMBED Equation.DSMT4
За нульове наближення кореня можна взяти будь-яке значення із заданого інтервалу, наприклад, EMBED Equation.DSMT4
Один із можливих варіантів програми:
Для виконання роботи за даною програмою слід виконати такі дії.
Запустити програму і після появи на екрані дисплея повідомлення
X0=
ввести нульове наближення кореня, тобто 0,5 у довільному форматі, та натиснути клавішу “Enter”;
після появи на екрані дисплея повідомлення
EPS=
ввести значення похибки 0.0001 та натиснути клавішу “Enter”;
після появи на екрані дисплея повідомлення
Jmax=
ввести допустиме значення кількості ітерацій, наприклад, 30, та натиснути клавішу “Enter”.
Програма автоматично введе вхідну інформацію, обчислить значення кореня, надрукує це значення та виконану кількість ітерацій до файла вихідної інформації:
Korin = 0.1147439E+01 za 4 iteraciі
і закінчить роботу.
Значення кореня...
